В русском языке существует правило раздельного написания частицы "не" с деепричастиями. Согласно этому правилу, "не" с деепричастиями пишется раздельно. В данном случае "не поволяв" является деепричастием, поэтому частица "не" пишется отдельно от него.
Таким образом, правильный вариант написания: "не поволяв куска, собака не съест".
Важно помнить, что это правило касается всех деепричастий, когда частица "не" употребляется без дополнительных слов, усиливающих отрицание (например, "совсем не поволяв").