Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет 90 раз.

Для решения данной задачи можно воспользоваться биномиальным распределением вероятностей. Вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна 0.5, так как монета имеет две равновероятные стороны - орёл и решка.

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет 90 раз при 200 бросках монеты можно вычислить по формуле биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

где: P(X=k) - вероятность того, что орел выпадет k раз, C(n, k) - число сочетаний из n по k, p - вероятность выпадения орла при одном броске монеты (0.5), k - количество раз, которое выпадет орел (90), n - общее количество бросков монеты (200).

Подставим значения в формулу:

P(X=90) = C(200, 90) 0.5^90 0.5^(200-90)

Вычислим значение числа сочетаний C(200, 90) - это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Подставим значения:

C(200, 90) = 200! / (90! * (200-90)!) = 5.535e+36

Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения и вычислим вероятность:

P(X=90) = 5.535e+36 0.5^90 0.5^110 ≈ 8.59e-12

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 90 раз из 200 бросков монеты составляет примерно 8.59е-12 или 0.00000000000859.

Для решения задачи о вероятности того, что орел выпадет 90 раз при 200 бросках монеты, можно воспользоваться биномиальным распределением. Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, где каждый успех имеет одинаковую вероятность.

Обозначим:

• ( n = 200 ) — общее количество бросков монеты,
• ( k = 90 ) — количество выпадений орла,
• ( p = 0.5 ) — вероятность выпадения орла в одном броске (предполагается, что монета честная).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ]

где:

• ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} ).

Подставим наши значения в формулу:

[ P(X = 90) = \binom{200}{90} (0.5)^{90} (0.5)^{110} ]

Поскольку ( (0.5)^{90} \times (0.5)^{110} = (0.5)^{200} ), упростим выражение:

[ P(X = 90) = \binom{200}{90} (0.5)^{200} ]

Теперь нам нужно вычислить биномиальный коэффициент ( \binom{200}{90} ):

[ \binom{200}{90} = \frac{200!}{90! \cdot 110!} ]

Прямое вычисление факториалов для больших чисел, таких как 200!, 90! и 110!, может быть затруднительным без компьютерного программного обеспечения. Однако для практических целей используют специальные математические пакеты или приближения, такие как аппроксимация с помощью нормального распределения.

Приближение с помощью нормального распределения

Когда ( n ) велико, биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением ( N(\mu, \sigma^2) ), где:

• ( \mu = np ) — математическое ожидание,
• ( \sigma^2 = np(1-p) ) — дисперсия.

Для наших значений:

• ( \mu = 200 \times 0.5 = 100 ),
• ( \sigma^2 = 200 \times 0.5 \times 0.5 = 50 ),
• ( \sigma = \sqrt{50} \approx 7.07 ).

Теперь можно использовать нормальное распределение с этими параметрами для аппроксимации:

[ P(89.5 < X < 90.5) ]

Здесь мы используем континуум-коррекцию, чтобы улучшить аппроксимацию. Переведем это в стандартное нормальное распределение ( Z ):

[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} ]

Для ( X = 89.5 ):

[ Z = \frac{89.5 - 100}{7.07} \approx -1.48 ]

Для ( X = 90.5 ):

[ Z = \frac{90.5 - 100}{7.07} \approx -1.34 ]

Теперь найдем вероятность для стандартного нормального распределения ( Z ):

[ P(-1.48 < Z < -1.34) ]

Используя стандартные таблицы нормального распределения или калькулятор нормального распределения, найдем:

[ P(Z < -1.34) \approx 0.0901 ] [ P(Z < -1.48) \approx 0.0694 ]

Таким образом, вероятность между этими значениями:

[ P(-1.48 < Z < -1.34) \approx 0.0901 - 0.0694 = 0.0207 ]

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно 90 раз при 200 бросках честной монеты, примерно равна 0.0207, или 2.07%.